让数学课带点哲学的味道

历史上，数学是哲学的一个分支.勾股定理的发现和证明者毕达哥拉斯是人类历史上第一个堪称伟大的数学家和哲学家，他从数学的角度出发去解释整个世界，这在总体上指引了自然科学的发展方向，极大地影响了后来的科学家；大数学家牛顿有一本巨著《自然哲学的数学原理》，在这本书中，牛顿不但总结出了力学基本原理，还创造性地用微积分学理论去阐述物体的运动规律，揭示了哲学中“运动”这一概念的数学解释，提供了科学思维体系的样板.可以这样说，一切数学理论都是从哲学延伸而来，最后又归结于哲学.

既然如此，我们教师在高中数学教学中，不妨让数学课带点哲学的味道.

一、数学中“普遍联系”的思想

哲学中，“普遍联系”是指事物的联系具有普遍性.任何事物的各个内部要素之间是互相联系的，任何事物也与周围的其他事物相互联系着.

［例1］sin 0=0，这五个正弦值之间存在什么联系？

五个值实际上可以写成，分子上根号里被开方数成等差数列.更进一步挖掘，由被开方数成等差数列，推知它们的平方也成等差数列.而由二倍角公式cos 2α=1-2sin2α知道单角正弦的平方，是二倍角余弦的一次函数.五个角的二倍角分别为0,,π，它们的余弦恰好构成等差数列1,,0,,-1.这五个余弦值成等差数列多少有点偶然的成分，但是“五个特殊角的正弦值的分子的被开方数成等差数列”这个既优美又玄乎的事实，则与之紧密地联系着.

［例2］圆的周长关于半径的函数是C=2πr，圆的面积关于半径的函数是S=πr2；球的表面积函数是S=4πr2，球的体积函数是，它们之间有什么联系？

一个不太明显的规律是“圆的面积函数的导函数是周长函数”，这是事物内部（此处论域是“圆”）要素之间的联系；而球的体积函数的导函数是球面积函数，这也是事物内部（此处论域是“球”）要素之间的联系.而圆与球在“对高维量函数求导得低维量函数”上的相似性，则体现出了不同事物间的联系.

二、“因果律”的思想

因果律是所有事物间最重要、最直接的关系.因果律有三大法则.

第一个法则是“果由因生”.这是指事物的发生有其时间序列性，不能倒置.

［例3］已知定义域为R 的函数f(x)=是奇函数，求a,b的值.

不少学生甚至部分教辅资料上的解法是先用f(x)=0 解出b=1，再由f(1)+f(-1)=0 解出a=2，然后小结作答就完成整个解题过程了.仔细分析题意，本题实际上是求f(x)为奇函数的充要条件，而上述解法实际上求出的是f(x)为奇函数的必要条件，违反了因果律的第一个法则——“果由因生”，因而是错误的解法.如何对错误做法进行改正呢？我们应该在用“特殊值法”求出a，b的值后，进一步去证明“a=2,b=1”是f(x)为奇函数的充分条件，即先用特殊值法求出a=2,b=1，再证明f(x)=满足f(x)+f(-x)=0，所以f(x)是奇函数，这样就正确了.

第二个法则是“事待理成”.这是指事物的发展有其客观性、必然性.中学数学中，“事待理成”主要体现为演绎推理的广泛使用.数学公理的确立是建立在大量直观事例之上的归纳结果；定理的证明则是建立在公理之上的演绎结果.中学数学教学中的推理，主要是演绎推理；数学归纳法虽号称“归纳法”，其证明过程本质上还是演绎推理.事物的发展条件变了，结果就可能会变化，“理”不同，则“事”也可能不同.

［例4］判断“垂直于同一直线的两条直线平行”是否正确.

因为“同位角相等，则两直线平行”，所以初中生给出的答案是“正确”.但是，高中阶段的结论是“垂直于同一直线的两条直线平行或相交或异面”，所以高中生给出的答案是“错误”.不同学段学生对同一问题的结论不同的原因，就是推理的初始条件发生了变化：由“同一平面内的两条直线垂直于同一条直线”变成了“空间中两条直线垂直于同一直线”.

第三个法则是“有依空立”.这是说，“存在”依托“空无”而得以产生，具体来说，就是“否定之否定”，事物内部矛盾双方对旧事物否定的一方居主要地位时，旧事物就被否定了，新事物就产生了.

［例5］平面上3 条直线l1：x-2y+3=0，l2：2xy-9=0，l3：mx+y-m=0能围成三角形.求m的范围.

3 条直线能围成三角形，须满足“三边互不平行且不共点”的条件.这种否定性的条件如果采用“否定之否定”的解题思路，则事倍功半.三边中有两边平行，则围不成三角形；三边如果共点，则围不成三角形.那么考虑l1∥l3或者l2∥l3或者过定点（1，0）的直线l3过l1，l2的交点（7，5）.求出围不成三角形的条件后，再取m的补集，就得到了问题的答案.

文章来源：《现代哲学》 网址: http://www.xdzxbjb.cn/qikandaodu/2021/0707/370.html